Savings Plans 최적 커밋 금액 증명

AWS Savings Plans의 최적 시간당 커밋 금액을 수학적으로 도출한다. fractional knapsack과 convex optimization을 활용한 증명이다.

핵심 개념

기호 정의

기호	의미
$O{D}_i$	인스턴스 i의 On-Demand 시간당 가격
$S{P}_i$	인스턴스 i의 Savings Plan 시간당 가격
$u_i(t)$	시간 t에 인스턴스 i의 사용량 (대수)
$R$	SP 시간당 커밋 금액 (결정 변수)
$d_i$	할인율
$k_i$	커밋 1달러당 절감 효율

할인율과 절감 효율의 정의:

$d_i=\frac{O{D}_i-S{P}_i}{O{D}_i},k_i=\frac{O{D}_i-S{P}_i}{S{P}_i}$

정렬 순서의 정당성

명제: $d_i$ 내림차순 정렬은 $k_i$ 내림차순 정렬과 동치이다.

증명:

$k_i=\frac{d_i}{1-d_i}$

$f(x)=\frac{x}{1-x}$는 $(0,1)$에서 순증가 함수이므로:

$d_i>d_j⟺k_i>k_j■$

의미: $k_i$가 높은 항목에 커밋 1달러를 투자하면 더 많이 절감한다. $k_i$ 내림차순 커버가 최적이며, 이는 fractional knapsack의 탐욕 해와 동일하다.

비교·분석

절감 함수 $S_t(R)$

시간 $t$에서 SP 적용 가능한 항목을 $k_i$ 내림차순으로 정렬한다: $i_1,i_2,\dots ,i_m$

각 항목의 커버 비용 및 누적합:

$L_j(t)=u_{i_j}(t)\cdot S{P}_{i_j},P_j(t)={\sum }_{k=1}^j{L}_k(t)$

구간 $P_{j-1}(t)\le R\le P_j(t)$에서:

$S_t(R)={\sum }_{k=1}^{j-1}{L}_k(t)\cdot k_{i_k}+(R-P_{j-1}(t))\cdot k_{i_j}$

성질: 구간별 선형(piecewise linear), 오목(concave), 단조증가, 상한 존재.

비용 함수 $C_t(R)$

$C_t(R)=O{D}_t-S_t(R)+(R-P_m(t){)}^{+}$

여기서 $O{D}_t={\sum }_i{u}_i(t)\cdot O{D}_i$, $(x{)}^{+}=\max (0,x)$.

검산 (A: 10대 t4g.medium, B: 5대 c7g.large):

$R$	$S_t(R)$	$(R-P_m{)}^{+}$	$C_t(R)$	직접 계산
0	0	0	0.824	0.824 ✓
0.27	0.146	0	0.678	0.678 ✓
0.56	0.264	0	0.560	0.560 ✓
0.80	0.264	0.24	0.800	0.800 ✓

주의: $C_t(R)\ne R+O{D}_t-S_t(R)$. 이 수식은 $R$을 이중 계산한다. $S_t(R)$의 정의에 이미 SP 비용이 내포되어 있다.

전체 비용과 최적 $R$

$C(R)={\sum }_{t=1}^T(O{D}_t-S_t(R)+(R-P_m(t){)}^{+})$

• $-S_t(R)$: concave의 부정 → convex
• $(R-P_m(t){)}^{+}$: convex
• 합: convex (convex 함수의 합은 convex)

$C(R)$는 convex piecewise linear 함수이며 전역 최솟값이 존재한다.

최적 조건

기울기가 0이 되는 점에서:

$|\{t:R^{\ast }>P_m(t)\}|={\sum }_{t:R^{\ast }\le P_m(t)}{k}_j(t)$

해석: 커밋을 1달러 올렸을 때 발생하는 낭비 시간 수(한계 비용)와 한계 절감 총합(한계 이익)이 같아지는 점이다.

$C(R)$는 piecewise linear이므로 최솟값은 반드시 breakpoint에서 발생한다:

$R^{\ast }\in \{0\}\cup {\bigcup }_{t=1}^T\{P_1(t),P_2(t),\dots ,P_m(t)\}$

실무 적용

알고리즘

1. 모든 시간 $t$의 breakpoint $P_j(t)$를 수집
2. 각 breakpoint $R$에서 $C(R)$ 계산
3. $C(R)$이 최소인 $R^{\ast }$ 선택

복잡도: $O(T\cdot n\cdot B)$ ($B$ = breakpoints 수, $n$ = 인스턴스 타입 수)

실측 검증

프로덕션 계정 (314시간, 38개 인스턴스 타입):

$R^{\ast }\approx \$16.27/\text{h},\text{절감률}=21.3\%,\text{연간 절감}\approx \$47,774$

검증:

• $R=0$일 때 $C(0)=O{D}_{\text{total}}$ ✓
• $R=R^{\ast }$ 근처에서 비용 최소 ✓
• $R>R^{\ast }$에서 비용 증가 (낭비 발생) ✓

참고 자료

• AWS Savings Plans FAQ
• AWS Cost Explorer - Savings Plans Recommendations